R त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित अधिकतम आय | vedclass

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Question

(B) माना $R$ त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।गोले और बेलन की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध है: $r^{2} + (h/2)^{2}

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$\sqrt{\frac{2}{3}}R$

Vedclass · Answer

(B) माना $R$ त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।गोले और बेलन की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध है: $r^{2} + (h/2)^{2} = R^{2}$।इसका अर्थ है $(h/2)^{2} = R^{2} - r^{2}$,इसलिए $h = 2\sqrt{R^{2} - r^{2}}$।बेलन का आयतन $V = \pi r^{2} h = 2\pi r^{2} \sqrt{R^{2} - r^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$\frac{dV}{dr} = 2\pi \left[ 2r \sqrt{R^{2} - r^{2}} + r^{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{R^{2} - r^{2}}} \cdot (-2r) ight] = 2\pi \left[ \frac{2r(R^{2} - r^{2}) - r^{3}}{\sqrt{R^{2} - r^{2}}} ight] = 2\pi \left[ \frac{2rR^{2} - 3r^{3}}{\sqrt{R^{2} - r^{2}}} ight]$।$\frac{dV}{dr} = 0$ रखने पर,हमें $2rR^{2} - 3r^{3} = 0$ प्राप्त होता है।चूँकि $r 
eq 0$,इसलिए $2R^{2} = 3r^{2}$ मिलता है,जो $r^{2} = \frac{2}{3}R^{2}$ देता है,या $r = \sqrt{\frac{2}{3}}R$।अतः,अधिकतम आयतन वाले बेलन की त्रिज्या $\sqrt{\frac{2}{3}}R$ है।

$R$ त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित अधिकतम आयतन वाले बेलन की त्रिज्या क्या होगी?

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